Η ευελιξία των μαθηματικών στους νοερούς υπολογισμούς

Η ευελιξία των μαθηματικών στους νοερούς υπολογισμούς

Έρευνα στα Μαθηματικά και τις εφαρμογές τους

Περίληψη

Στόχος της παρούσας έρευνας είναι να προσδιοριστεί η χρήση των στρατηγικών που χρησιμοποιούν οι Μαθηματικοί της δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης κατά τη διάρκεια των νοερών υπολογισμών. Οκτώ Μαθηματικοί εξετάστηκαν ως προς τις στρατηγικές που ακολούθησαν στις αριθμητικές πράξεις. Στην ανάλυση των μεθόδων επίλυσης διαπιστώθηκε ότι η πλειονότητα των μαθηματικών ακολουθούσαν κατά κύριο λόγο αλγοριθμικές διαδικασίες, δηλαδή μεθόδους που βασίζονταν σε κανόνες, και ως προς το πλήθος των διαφορετικών στρατηγικών δεν ξεπερνούσαν τις δύο.

Abstract

The objective of this research is to determine the use of the strategies, which mathematicians of middle level education used during mental calculations. Eight mathematicians were examined for the strategies that they followed to arithmetic operations. The analysis of the results shown that the majority of mathematicians used methods, which were based on maths’ rules. Finally, the mathematicians used no more than two different strategies.

Στη διεθνή βιβλιογραφία έχουν υλοποιηθεί αρκετές έρευνες, σχετικά με τους Νοερούς Υπολογισμούς, οι οποίοι πραγματοποιούνται, είτε με τη χρήση αριθμομηχανής, είτε με το μυαλό (νοερά), είτε με χαρτί και μολύβι (Λεμονίδης, 2013). Οι νοεροί υπολογισμοί απαιτούν ικανότητα οπτικοποίησης, είναι δηλαδή ένα είδος νοητικού πειράματος. (Κολέζα, 2009). Επομένως, «Νοερός Υπολογισμός είναι η διαδικασία του υπολογισμού με ακρίβεια ενός αριθμητικού αποτελέσματος, χωρίς τη βοήθεια κάποιου εξωτερικού μέσου υπολογισμού ή γραφής» (Wandt και Brawn, 1957). Επίσης, έχει παρατηρηθεί, ότι υπάρχει δυσκολία στην κατανόηση των αριθμών, των αριθμητικών σχέσεων, καθώς και των αριθμητικών πράξεων, τα οποία συνοψίζονται στην έννοια της αίσθησης του αριθμού. Σύμφωνα με τον Reys (1999) η αίσθηση ενός αριθμού αναφέρεται στη γενική κατανόηση ενός ατόμου για το σύνολο των αριθμών και των πράξεων, καθώς και τη δυνατότητα χρήσης αυτών, ώστε να αναπτύξει χρήσιμες και αποτελεσματικές στρατηγικές για τη διαχείριση των αριθμητικών καταστάσεων. Οι νοεροί υπολογισμοί δεν είναι γρήγοροι υπολογισμοί με βάση την ανάκληση πληροφοριών στη μνήμη, αλλά σημαντική δεξιότητα που επιτρέπει στα άτομα να συσχετίσουν και να συνδυάσουν αριθμητικές γνώσεις. Γενικότερα, όταν ένα άτομο κατανοήσει την έννοια ενός αριθμού, τότε είναι σε θέση να τον χρησιμοποιήσει μέσα σε πράξεις και να αναπτύξει ευέλικτες στρατηγικές επίλυσης (Tsao, 2004). 

Στην παρούσα έρευνα, εντοπίζονται οι όροι των εννοιολογικών και εργαλειακών στρατηγικών. Επομένως, εννοιολογικές λέγονται οι στρατηγικές, οι οποίες φανερώνουν την εννοιολογική κατανόηση του τρόπου που λειτουργούν οι αριθμοί μέσα στις πράξεις και δείχνουν επίσης ότι υπάρχει η αίσθηση του αριθμού (Λεμονίδης, 2013). Οι εργαλειακές στρατηγικές στηρίζονται σε απομνημονευμένους κανόνες, οι οποίοι προέρχονται συνήθως από τη διδακτική δραστηριότητα, και δεν συνεπάγονται άμεσα με τη βαθιά εννοιολογική τους κατανόηση.

Ανασύροντας δεδομένα από τη διεθνή βιβλιογραφία, παρατηρούμε ότι οι μαθηματικοί διαθέτουν ποικιλία και ευελιξία στις στρατηγικές που χρησιμοποιούν. Πιο συγκεκριμένα, η μελέτη της Dowker (1992), ανέδειξε ότι οι μαθηματικοί είχαν την τάση να προτιμούν στρατηγικές που αφορούν την κατανόηση αριθμητικών ιδιοτήτων, σε σχέση με τις αντίστοιχες στρατηγικές που διδάσκονται στο σχολείο. Επιπλέον, ως προς το πλήθος των στρατηγικών χρησιμοποιούσαν τουλάχιστον μία στρατηγική, οι οποίες τις περισσότερες φορές ήταν έξω από το διδακτικό πλαίσιο. Φάνηκε μάλιστα να προσελκύονται από ένα ελκυστικό και πρακτικό τρόπο, ώστε να σχετίζεται ο ένας αριθμός με τον άλλον και το πρόβλημα που τους δόθηκε να έχει ενδιαφέροντες τρόπους επίλυσης.

Στον αντίποδα η έρευνα της Sare (2013) που έγινε σε εκπαιδευτικούς, οι οποίοι δεν είχαν εμπλακεί με τη διδακτική διαδικασία, ανέδειξε ότι οι καθηγητές απαντούσαν σωστά στις ερωτήσεις που τους τέθηκαν κυρίως όταν ακολουθούσαν μεθόδους που βασίζονταν σε κανόνες. Επιπλέον, υπήρξε σε μεγάλο ποσοστό δυσκολία στο να εξηγήσουν τον τρόπο σκέψης τους. Ένα σημαντικό εύρημα που παρατηρήθηκε σχετίζεται με την αίσθηση του αριθμού από τη μεριά των εκπαιδευτικών, καθώς δεν μπορούσε να διατάξει ένα σύνολο δεκαδικών και κλασματικών αριθμών σε αύξουσα σειρά. Τέλος, σημειώθηκαν προβλήματα, σχετικά με την κατανόηση των πράξεων και την ικανότητα χειρισμού αυτών, όπως την ταύτιση της πράξης του πολλαπλασιασμού με αύξηση και της πράξης της διαίρεσης με μείωση.

Στην ερευνα της  Hartnett (2007) που έγινε σε μαθητές δημοτικού, οι οποίοι είχαν ενταχθεί σε πρόγραμμα εκμάθησης νοερών υπολογισμών, παρατηρήθηκε ότι στην αρχή του προγράμματος, η πλειοψηφία των  μαθητών δεν μπορούσε να βρει κάποια στρατηγική επίλυσης με εξαίρεση περίπου του 30% των μαθητών που έβρισκε το πολύ δύο τρόπους. Όμως, κατά τη διάρκεια του προγράμματος, παρατηρήθηκε ότι οι μαθητές χρησιμοποιούσαν όλο και μεγαλύτερό πλήθος διαφορετικών στρατηγικών.

Στόχος της παρούσας έρευνας είναι να ερευνηθούν και να αναγνωριστούν οι τρόποι που χρησιμοποιούν οι εν ενεργεία μαθηματικοί, οι οποίοι λόγω της διδακτικής τους εμπειρίας  αναμένεται να δώσουν σαφείς, ευκρινείς και συνοπτικές  περιγραφές των στρατηγικών επίλυσης που χρησιμοποιούν στα μαθηματικά προβλήματα.

Στην εν λόγω έρευνα έλαβαν μέρος οκτώ εν ενεργεία καθηγητές Γυμνασίων. Η συλλογή των δεδομένων έγινε με προσωπικές συνεντεύξεις. Επιλέχθηκε η ποιοτική μέθοδος έρευνας, γιατί μέσω ενός ερωτηματολογίου, το οποίο συμπληρώνεται απρόσωπα, δεν θα είμασταν σε θέση να εντοπίσουμε τις στρατηγικές που ακολούθησε ο κάθε εκπαιδευτικός, ώστε να απαντήσει στις ερωτήσεις που του τέθηκαν. Μέσω της ποιοτικής μεθόδου παρέχεται η δυνατότητα να παρατηρήσουμε, να περιγράψουμε και να ερμηνεύσουμε τα δεδομένα που θα συλλέξουμε από τα σχόλια που θα προκύψουν από τις συνεντεύξεις.  Η παρούσα έρευνα χωρίστηκε σε δύο φάσεις:  Κατά την πρώτη φάση της έρευνας δόθηκε στους εκπαιδευτικούς ένα ερωτηματολόγιο, με σκοπό να σκεφτούν τις στρατηγικές που θα ακολουθήσουν. Επίσης, δεν δόθηκαν περαιτέρω διευκρινίσεις στους εκπαιδευτικούς, επειδή η πιθανή βοήθειά μας θα επηρέαζε τις απαντήσεις τους. Στη δεύτερη φάση της έρευνας πραγματοποιήθηκε, η προσωπική συνέντευξη με τον κάθε καθηγητή ξεχωριστά, αφού βέβαια είχε μελετήσει πρώτα το ερωτηματολόγιο που του δόθηκε και ένιωθε έτοιμος να απαντήσει.

Σχετικά με την εγκυρότητα των απαντήσεων, παρατηρήθηκε ότι όλοι οι εκπαιδευτικοί απάντησαν σωστά σε όλες τις ερωτήσεις που τους τέθηκαν, εκτός από δύο ερωτήσεις στις οποίες διαφορετικοί καθηγητές έδωσαν λανθασμένη απάντηση.

Στρατηγικές που χρησιμοποιούν οι καθηγητές

Όσον αφορά τον αριθμό των στρατηγικών που χρησιμοποιούν οι καθηγητές,  στην πλειονότητάς τους χρησιμοποιούν το πολύ δύο στρατηγικές, με εξαίρεση τις ερωτήσεις 7 και 8, όπου ο ίδιος καθηγητής έδωσε αντίστοιχα τέσσερις και τρεις στρατηγικές επίλυσης αντίστοιχα. Σε αυτό το σημείο μπορούμε να εξάγουμε το συμπέρασμα ότι μόνο το 12,5% (1 εκπαιδευτικός) ήταν σε θέση να δώσει περισσότερες από δύο στρατηγικές επίλυσης στις δύο τελευταίες ερωτήσεις, γεγονός που αντιβαίνει στα ευρήματα της έρευνας της Dowker (1992).

Στην πλειοψηφία των καθηγητών που ρωτήθηκαν για κάποια επιπλέον στρατηγική επίλυσης, οι οποίοι είχαν αναφέρει μία μόνο στρατηγική, δήλωσαν ότι θεωρούν αδύνατο να βρουν κάποιον διαφορετικό τρόπο, εκτός βέβαια του αλγοριθμικού. Οι καθηγητές είχαν σαν πρωταρχική σκέψη μεθόδους που βασίζονταν σε κανόνες. Όπως προκύπτει από την συλλογή των δεδομένων, στην πλειοψηφία τους, οι καθηγητές δεν βρήκαν ιδιαίτερες δυσκολίες στην απάντηση του ερωτηματολογίου, εκτός βέβαια από την τρίτη και έβδομη ερώτηση, όπου διαφορετικοί καθηγητές έδωσαν λανθασμένη απάντηση. Παρακάτω συγκεφαλαιώνονται το σύνολο των στρατηγικών που χρησιμοποίησαν οι καθηγητές.

Ερώτηση 1^η:  Να υπολογιστεί:

Το 87,5% ακολούθησε μεθόδους που βασίζονται σε κανόνες (Αντιστροφή και πολλαπλασιασμός με το 2) και μόλις το 12,5% ακολούθησε εννοιολογικές στρατηγικές.  (το μισό χωράει 2 φορές στο 1 και 1,5 φορά στο . Όταν τους ζητήθηκε να χρησιμοποιήσουν διαφορετική στρατηγική, τότε μόνο το 37,5% των ερωτηθέντων απάντησε (μετατροπή των κλασμάτων σε δεκαδικούς αριθμούς).

Ερώτηση 2^η: Ο  Νίκος  περπάτησε 0,4828 Km,  η  Ελένη  περπάτησε  13/38

Km, η Μαρία 8/15, ο Γιάννης 17/16 Km, η Άννα 0,966 Km και ο Βασίλης 7/29 Km. Χωρίς να βρείτε την ακριβή τιμή διατάξτε τις τιμές από την πιο μεγάλη στην πιο μικρή.

Όσον αφορά την δεύτερη ερώτηση, οι μαθηματικοί στο σύνολό τους απάντησαν κάνοντας αναφορά στο μισό και στο ένα, σε ποσοστό 87,5% (το 0,4828 είναι λίγο μικρότερο του , το  είναι λίγο μεγαλύτερο του , , ). Ένας μόνο μαθηματικός (12,5%) έκανε αναφορά εκτός από το μισό και το ένα και στο  και στο , λέγοντας ότι: , , , , , . Ως απόρροια των παραπάνω, όλοι οι μαθηματικοί περιορίστηκαν σε μία στρατηγική, η οποία ως προς το είδος της ήταν εννοιολογική.

Ερώτηση 3^η: Η  Λίνα  χρησιμοποίησε την αριθμομηχανή για να  υπολογίσει

το 0,4975 ∙ 9428,8= 4690828 αλλά ξέχασε να γράψει την υποδιαστολή. Χωρίς να κάνετε ακριβή υπολογισμό παρακαλώ βρείτε ποια από τις παρακάτω απαντήσεις είναι η σωστή.

1) 46,90828 2) 469,0828 3) 4690,828  4) 46908,28 5. Χωρίς υπολογισμό δεν μπορούμε να το βρούμε.

Στην τρίτη ερώτηση η πλειονότητα των μαθηματικών χρησιμοποίησε εννοιολογικές στρατηγικές σε ποσοστό 87,5%. Πιο αναλυτικά, το 75% των ερωτηθέντων χρησιμοποίησε τη στρατηγική «αναφορά στο μισό», λέγοντας ότι "ζητάμε το μισό του 9.428,8". Επιπλέον, το 12,5% των ερωτηθέντων έκανε χρήση βολικών αριθμών, στρογγυλοποιώντας τους αριθμούς 0,4975 σε 0,5 και 9.428,8 σε 10.000.  Τέλος, ένας μαθηματικός (12,5%) μέτρησε το πλήθος των δεκαδικών ψηφίων, ώστε να τοποθετήσει την υποδιαστολή (εργαλειακή στρατηγική).

Ερώτηση 4^η: Συγκρίνετε τα κλάσματα:  και  ,      και

Στην τέταρτη ερώτηση, στο πρώτο ερώτημα το 75% των στρατηγικών που δόθηκαν ήταν βασισμένες σε κανόνες (μετατροπή των κλασμάτων σε ομώνυμα και σύγκριση των αριθμητών), ενώ το 62,5% έκανε αναφορά στο μισό, που αποτελεί εννοιολογική στρατηγική ( το  και το ). Όσον αφορά το δεύτερο ερώτημα, τα αποτελέσματα που συλλέξαμε δεν διαφοροποιούνται αρκετά, ως προς το είδος των στρατηγικών που ακολούθησαν, καθώς και σε αυτή την ερώτηση υπερισχύουν οι εργαλειακές στρατηγικές. Πιο αναλυτικά, το 75% μετατρέπει τα κλάσματα σε ομώνυμα, ενώ το 37,5% κάνει χρήση κλασμάτων  με διαδοχικούς όρους. Από την άλλη μεριά μόνο το 25% χρησιμοποιεί εννοιολογική στρατηγική – σκέψη υπολοίπου (στο πρώτο κλάσμα υπολείπεται το , ενώ στο δεύτερο το ).  

Ερώτηση 5^η: Βρείτε 3 κλάσματα μεταξύ του 7/8 και του 1.

Στην πέμπτη ερώτηση μόνο ένας (12,5%) μαθηματικός ακολούθησε εργαλειακή στρατηγική, δημιουργώντας κλάσματα με διαδοχικούς όρους . Η πλειοψηφία  των μαθηματικών (75%) έκανε χρήση βολικών αριθμών (πολλαπλασιασμός των όρων του κλάσματος, είτε με το 4, είτε με το 10). Αξίζει, επιπλέον να αναφέρουμε τον τρόπο σκέψης ενός μαθηματικού, όπου αρχικά δεν μπορούσε να δώσει κάποια απάντηση: «Μετά το  θα μπορούσε να ήταν το . Άρα έχουμε » (Εννοιολογική Στρατηγική).  Να σημειωθεί ότι ο εν λόγω μαθηματικός γνώριζε ότι οι όροι του κλάσματος πρέπει να είναι φυσικοί αριθμοί.

Ερώτηση 6^η: Ένας μαθητής που ξεκίνησε σκι έκανε 75 ώρες μάθημα και

κάθε ώρα κόστιζε 36 €. Πόσο πρέπει περίπου να πληρώσει;

Όσον αφορά την έκτη ερώτηση μόνο το 25% των ερωτηθέντων κατέφυγε σε εργαλειακή στρατηγική, κάνοντας χρήση της επιμεριστικής ιδιότητας (). Επιπλέον, το 25%, έκανε χρήση βολικών αριθμών, ώστε να εκτιμήσει το αποτέλεσμα του προβλήματος , (εννοιολογική στρατηγική). Επίσης, το 25% ακολούθησε τη στρατηγική διάσπασης ΔΑ, ώστε να προκύψουν γνωστά γινόμενα (), (εννοιολογική στρατηγική). Ένας μαθηματικός (12,5%) έκανε χρήση ολιστικών στρατηγικών (διαδοχικοί διπλασιασμοί – υποδιπλασιασμοί των δύο όρων: ), (εννοιολογική στρατηγική). Τέλος, ένας μαθηματικός (12,5%) έκανε χρήση βολικών αριθμών, μετατρέποντας τον αριθμό 75 σε  (εννοιολογική στρατηγική).

Ερώτηση 7^η: Υπολογίστε το γινόμενο με όσο το δυνατόν περισσότερους

τρόπους

Στην έβδομη ερώτηση οι καθηγητές στο σύνολό τους, χρησιμοποίησαν μεθόδους που βασίζονται σε κανόνες ανάλογες με αυτές που διδάσκουν. Πιο συγκεκριμένα το 75% των ερωτηθέντων έκανε διάσπαση ΔΑ του πρώτου όρου και στην συνέχεια εφάρμοσε την επιμεριστική ιδιότητα, χρησιμοποιώντας την πράξη της πρόσθεσης . Επίσης, το 50% των ερωτηθέντων ακολούθησε την ίδια στρατηγική, κάνοντας χρήση της πράξης της αφαίρεσης . Ένας μαθηματικός (12,5%), όταν ρωτήθηκε για διαφορετικό τρόπο επίλυσης, ανέφερε τον κάθετο πολλαπλασιασμό, όπου λόγω του περιορισμένου χρόνου που διέθετε, βρήκε λάθος αποτέλεσμα. Τέλος, το 62,5% έκανε διάσπαση του αριθμού με βάση τη θεσιακή αξία, ώστε να οδηγηθεί σε ταυτότητα που είχε απομνημονεύσει.

Ερώτηση 8^η: Δώστε ενδεικτικούς τρόπους για την εύρεση του πηλίκου

Στην όγδοη ερώτηση  η πλειοψηφία των μαθηματικών κατέφυγε σε εννοιολογικές στρατηγικές, εκτός από δύο που χρησιμοποίησαν εργαλειακή στρατηγική. Το 12,5% των ερωτηθέντων μετασχημάτισε το πηλίκο σε κλάσμα και στη συνέχεια πραγματοποίησε διαδοχικές απλοποιήσεις των όρων του (εργαλειακή στρατηγική). Ένας μόνος μαθηματικός (12,5%) όταν του ζητήθηκε δεύτερος τρόπος επίλυσης, ανέφερε την κάθετη διαίρεση (εργαλειακή στρατηγική). Όσον αφορά τις εννοιολογικές στρατηγικές, το 62,5% έκανε διάσπαση ΔΑ του πρώτου όρου, ώστε να προκύψουν γνωστά πηλίκα των οποίων το αποτέλεσμα προέρχεται από άμεση ανάκληση. Τέλος, το 50% έκανε άμεση ανάκληση  και στη συνέχεια επαναλαμβανόμενες προσθέσεις, ενώ το 25% χρησιμοποίησε την ίδια στρατηγική, κάνοντας αυτή τη φορά πολλαπλασιασμό .

Συμπεράσματα

Με βάση την παραπάνω έρευνα που έγινε στους μαθηματικούς της δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης, μπορούμε να συμπεράνουμε:

Το σύνολο των εκπαιδευτικών που εξετάστηκε δεν διέθετε ποικιλία και ευελιξία στις στρατηγικές που ακολουθούσαν, καθώς το ρεπερτόριο των στρατηγικών επίλυσης των καθηγητών Γυμνασίου είναι αρκετά περιορισμένο. Δηλαδή, δεν έκαναν χρήση πολλαπλών στρατηγικών στην επίλυση των πράξεων, αλλά βασίστηκαν σε εργαλειακές στρατηγικές (επιμεριστική – χρήση ταυτοτήτων – εφαρμογή αλγορίθμων), οι οποίες προέρχονταν από το διδακτικό πλαίσιο. Το συμπέρασμα αυτό έρχεται σε αντίθεση με τα ευρήματα της έρευνας της Dowker (1992). Αντίθετα οι εννοιολογικές στρατηγικές παραγκωνίστηκαν αρκετά από τους μαθηματικούς. Επιπλέον, όταν ρωτήθηκαν οι μαθηματικοί για εναλλακτικό τρόπο επίλυσης, τότε η πλειονότητα αυτών, αναφέρθηκε σε αλγοριθμικές στρατηγικές, ανεξάρτητα από το είδος των στρατηγικών που ανέφερε αρχικά.

Σε αυτό το σημείο αξίζει να σημειωθεί ιδιαίτερα η δυσκολία δύο μαθηματικών να αντιληφθούν το σκεπτικό, όταν τους δόθηκε ως λύση (για την ερώτηση 1) ότι το  μπορούν να το δουν ως μισό και να σκεφτούν πόσες φορές χωράει στο , αναλύοντάς το σε 1 και . Ο πρώτος ανέφερε ότι δεν θα μπορούσε να το σκεφτεί, ενώ ο δεύτερος ανέφερε ότι αν είχε στη διάθεση του αρκετό χρόνο, τότε πιθανότατα θα έβρισκε τον τρόπο που προαναφέρθηκε. Επίσης στην πέμπτη ερώτηση ένας μαθηματικός οδηγήθηκε στη χρήση δεκαδικού αριθμητή, ώστε να απαντήσει στο ερώτημα, δίνοντας μία πρωτότυπη απάντηση. Σε αυτό το σημείο φαίνεται ότι ο μαθηματικός έχει κατανοήσει το σύνολο των αριθμών και των πράξεων, πράγμα που τον καθιστά ικανό να αναπτύξει ευέλικτες στρατηγικές.

Γενικότερα, οι εκπαιδευτικοί θα πρέπει να είναι ενήμεροι για το πλήθος των διαθέσιμων νοερών στρατηγικών όχι απαραίτητα για να τις διδάξουν, αλλά να είναι σε θέση να στηρίξουν τους μαθητές τους, ώστε να τελειοποιήσουν τις δικές τους στρατηγικές. Πιο συγκεκριμένα, οι αλγόριθμοι της πρόσθεσης και της αφαίρεσης δίνουν έμφαση στα ψηφία, είναι άκαμπτοι και βασίζονται στην αναιτιολόγητη απομνημόνευση των αλγορίθμων. Αυτό έχει ως αποτέλεσμα οι μαθητές να οδηγούνται σε λάθη και παρανοήσεις και κατά συνέπεια να αποθαρρύνονται. Άλλωστε η βαθιά και ευέλικτη κατανόηση των αριθμών μπορεί να υποστηρίξει και τη γενικότερη μαθηματική ανάπτυξη, ενώ η έλλειψή της να την εμποδίσει (Burns, 1989). Επιπλέον, οι εκπαιδευτικοί κατά την διδασκαλία τους, θα πρέπει να παροτρύνουν τους μαθητές να εξηγούν τις στρατηγικές επίλυσης που ακολούθησαν, είτε στις  αριθμητικές πράξεις, είτε στα μαθηματικά προβλήματα, ώστε να προβληθούν και να ενισχυθούν οι στρατηγικές αυτές στο σύνολο των μαθητών. Πολλές φορές η δυσκολία στον ευέλικτο χειρισμό των αριθμών, μπορεί να προκαλέσει αρνητισμό ή και ακόμα αποστροφή των μαθητών αναφορικά με τα μαθηματικά (Kamisnki, 2002).

Όσον αφορά τη φύση των μαθηματικών, η παρούσα έρευνα έδειξε ότι οι μαθηματικοί αντιλαμβάνονται τα μαθηματικά ως ένα αυστηρά δομημένο σύστημα, το οποίο στηρίζεται σε μεθοδολογίες και τύπους, που προκύπτουν από το διδακτικό πλαίσιο και όχι ως μία κατασκευή, η οποία αποτελείται από ποικιλία επιλογών που βασίζεται στην εννοιολογική κατανόηση της μαθηματικής διαδικασίας, καθώς και της αίσθησης του αριθμού.

Βιβλιογραφία

Κολέζα, Ε. (2009). Θεωρία και πράξη στη διδασκαλία των μαθηματικών (6th ed.). Αθήνα: Εκδόσεις Τόπος.

Λεμονίδης, Χ. (2013). Μαθηματικά της φύσης και της ζωής. Νοεροί υπολογισμοί. Ζυγός, Θεσσαλονίκη.

Burns, M. (1989). Teaching for understanding: A focus on Multiplication. In Trafton, P. R, & Shulte, A. P. (Ed). New Directions for Elementary School Mathematics. Reston, Virginia: NCTM; 123-134.

Dowker, A. (1992). Computational Estimation Strategies of professional mathematics, Journal for Research in Mathematics Education, Vol. 23, No. 1, 45-55

Hartnett, J. (2007). Categorisation of Mental Computation Strategies to Support Teaching and to Encourage Classroom Dialogue, Mathematics: Essential Research, Essential Practice, Volume 1

Kaminski, E. (2002). Promoting Mathematical Understanding: Number Sense in Action. Mathematics Education Research Journal, 14 (2): 133-149.

Reys, R. E., Reys, B. J., McIntosh, A., Emanuelsson, G., Jo­hansson, B., & Yang, D. C. (1999). Assessing number sense of students in Australia, Sweden, Taiwan and the United States. School Science and Mathematics, 99 (2), 61-70.  

Sare Şengul (2013).  Identification of Number Sense Strategies used by Pre-service Elementary Teachers, Educational Sciences: Theory & Practice, 13

Tsao, Y.-L (2004). Exploring The Connections Among Number Sense, Mental Computation Performance, And The Written Computation Performance Of Elementary Preservice School Teachers, Journal of College Teaching & Learning, (1), 12

Wandt, E. & Brown, G.W. (1957). Non-occupational uses of mathematics: Mental and written  - Approximate and exact. Arithmetic Teacher, 4(4): 151 – 154.